Повний обсяг, частковий обсяг, коефіцієнт Шарпа, геометрична дохідність

Формула коефіцієнта Шарпа: (Rp - Rf) / σ, де Rp — арифметична дохідність, Rf — безризикова ставка, σ — стандартне відхилення активу.
Коефіцієнт Шарпа показує, скільки додаткової доходності отримуєш на кожну одиницю загального ризику.
Зараз проведемо думковий експеримент: припустимо, базовий індекс — це ринок, і порівнюємо повний портфель усього ринку з половиною портфеля, що слідкує за тим самим індексом, без врахування витрат. Тоді фактично коефіцієнт Шарпа для повного портфеля: (Rp - Rf) / σ; для половинного — арифметична доходність становить 0.5Rp + 0.5Rf, а волатильність — 0.5σ. Обчислюючи, отримуємо, що коефіцієнт Шарпа для половинного портфеля фактично дорівнює повному.
Коефіцієнт Шарпа фактично говорить про те, що, поєднуючи безризикові активи з ризиковими, можна змінювати рівень ризику, зберігаючи коефіцієнт Шарпа.

Але чи на цьому все? Різні фонди дуже цінують коефіцієнт Шарпа, але насправді він оцінює співвідношення ризику та доходності в одному періоді, а не в довгостроковій перспективі.
Насправді, при довгострокових інвестиціях, особливо при врахуванні “складних відсотків”, мова йде не про арифметичну доходність, а про геометричну доходність. Для неї можна використовувати наближення G = Rp - 0.5σ^2.
Щоб спростити, візьмемо безризикову ставку рівною 0.
Тоді геометрична доходність повного портфеля: Rp - 0.5σ^2
Для половинного портфеля: 0.5Rp - 0.125σ^2
Легко помітити, що геометрична доходність половинного портфеля більша за 50% від повного.
Це так званий “податок на волатильність” — волатильність є ворогом складних відсотків.
Насправді, попередній коефіцієнт Шарпа показує, що при незмінності активу, контроль за позицією не впливає на коефіцієнт Шарпа;
а “податок на волатильність” у певному сенсі означає, що при незмінності активу, “менша позиція — вища ефективність”.
Можливо, це пояснює, чому баланс між акціями та облігаціями дає кращий досвід інвестування?
Звісно, тут передбачається, що позиція змінюється в реальному часі, і не враховуються ефекти ребалансування.
Обговорюємо — ласкаво просимо.